Q.1 二変数の関数のテイラーの展開式を証明しなさい。
ある二変数関数
z=f(x,y)
が領域でn+1回連続偏微分可能であり、
(x0,y0) と (x0+h,y0+k)(h,k∈R)
は関数上にて、その結ぶ線も領域Dに属するとき
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂x∂+k∂y∂)f(x0,y0)+2!1(h∂x∂+k∂y∂)2f(x0,y0)+⋯+n!1(h∂x∂+k∂y∂)nf(x0,y0)+Rn
が存在する、
一般的に
(h∂x∂+k∂y∂)nf(x0,y0)→p=0∑mCmphpkm−p∂xp∂ym−p∂mf∣(x0,y0)
Rn=(n+1)!1(h∂x∂+k∂y∂)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ∈(0,1))
証明：
関数
z=f(x0+h,y0+k)
定数tを引用して、
z(t)=f(x0+ht,y0+kt)(t∈[0,1])
とおく
z(0)=f(x0,y0),z(1)=f(x0+h,y0+k)
z′(t)=h∂x∂z(t)+k∂y∂z(t)
→z′(t)=(h∂x∂+k∂y∂)z(t)
z′′(t)=h2∂2x∂2z(t)+2h∂x∂y∂2z(t)+k2∂2y∂2z(t)
→z′′(t)=(h∂x∂+k∂y∂)2z(t)
zn+1′′⋯′′(t)→zn+1(t)=(h∂x∂+k∂y∂)n+1z(t)
z(t)は、マククローリンの定理を適用すると、t=1のときに展開する、
z(1)=z(0)+z′(0)+2!1z′′(0)+⋯+n!1zn(0)+(n+1)!1zn+1(θ)(θ∈(0,1))
代入すると、
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂x∂+k∂y∂)f(x0,y0)+2!1(h∂x∂+k∂y∂)2f(x0,y0)+⋯+n!1(h∂x∂+k∂y∂)nf(x0,y0)+(n+1)!1(h∂x∂+k∂y∂)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ∈(0,1))
が得る。
Q.E.D
