二変数関数のテイラーの展開式証明とLatex使用練習

Q.1 二変数の関数のテイラーの展開式を証明しなさい。
ある二変数関数 z=f(x,y)

が領域でn+1回連続偏微分可能であり、 (x0,y0)  (x0+h,y0+k)(h,kR)

は関数上にて、その結ぶ線も領域Dに属するとき f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(hx+ky)f(x0,y0)+12!(hx+ky)2f(x0,y0)++1n!(hx+ky)nf(x0,y0)+Rn
が存在する、

一般的に (hx+ky)nf(x0,y0)mp=0Cpmhpkmpmfxpymp|(x0,y0)

Rn=1(n+1)!(hx+ky)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ(0,1))
証明:

関数 z=f(x0+h,y0+k)

定数tを引用して、 z(t)=f(x0+ht,y0+kt)(t[0,1])
とおく z(0)=f(x0,y0),z(1)=f(x0+h,y0+k)
z(t)=hxz(t)+kyz(t)
z(t)=(hx+ky)z(t)
z(t)=h222xz(t)+2h2xyz(t)+k222yz(t)
z(t)=(hx+ky)2z(t)
zn+1(t)zn+1(t)=(hx+ky)n+1z(t)
z(t)は、マククローリンの定理を適用すると、t=1のときに展開する、 z(1)=z(0)+z(0)+12!z(0)++1n!zn(0)+1(n+1)!zn+1(θ)(θ(0,1))
代入すると、 f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(hx+ky)f(x0,y0)+12!(hx+ky)2f(x0,y0)++1n!(hx+ky)nf(x0,y0)+1(n+1)!(hx+ky)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ(0,1))
が得る。

Q.E.D

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为什么要担心?如果努力了,担心不会让结果变得更好。