Q.1 二変数の関数のテイラーの展開式を証明しなさい。
ある二変数関数
z=f(x,y)
が領域でn+1回連続偏微分可能であり、 (x0,y0) と (x0+h,y0+k)(h,k∈R)
は関数上にて、その結ぶ線も領域Dに属するとき
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(x0,y0)+Rn
が存在する、
一般的に (h∂∂x+k∂∂y)nf(x0,y0)→m∑p=0Cpmhpkm−p∂mf∂xp∂ym−p|(x0,y0)
Rn=1(n+1)!(h∂∂x+k∂∂y)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ∈(0,1))
証明:
関数 z=f(x0+h,y0+k)
定数tを引用して、
z(t)=f(x0+ht,y0+kt)(t∈[0,1])
とおく
z(0)=f(x0,y0),z(1)=f(x0+h,y0+k)
z′(t)=h∂∂xz(t)+k∂∂yz(t)
→z′(t)=(h∂∂x+k∂∂y)z(t)
z″(t)=h2∂2∂2xz(t)+2h∂2∂x∂yz(t)+k2∂2∂2yz(t)
→z″(t)=(h∂∂x+k∂∂y)2z(t)
z″⋯″⏟n+1(t)→zn+1(t)=(h∂∂x+k∂∂y)n+1z(t)
z(t)は、マククローリンの定理を適用すると、t=1のときに展開する、
z(1)=z(0)+z′(0)+12!z″(0)+⋯+1n!zn(0)+1(n+1)!zn+1(θ)(θ∈(0,1))
代入すると、
f(x0+h,y0+k)=f(x0,y0)+(h∂∂x+k∂∂y)f(x0,y0)+12!(h∂∂x+k∂∂y)2f(x0,y0)+⋯+1n!(h∂∂x+k∂∂y)nf(x0,y0)+1(n+1)!(h∂∂x+k∂∂y)n+1f(x0+θh,y0+θk)(θ∈(0,1))
が得る。
Q.E.D
v1.5.2