1.1 个体状态空间#

每个活跃的创作者 $i$ 在 $t$ 时刻的状态为

其中 $\theta_i \in [0, \bar{\theta}]$ 为声誉（有上界，由塌方和信息披露的内生减速保证），$W_i \in (0, \bar{W}]$ 为热情预算（有上界，由精力消耗的增长保证），$T_i \in [0, \bar{T}]$ 为时间禀赋（外生、有界），$n_i \in [0, \bar{n}]$ 为网络位置

创作者 $i$ 在无料网络中的可视范围大小 $|N_i^{\text{circle}}|$，$\mathbf{q}_i \in \Delta^4$ 为混合向量（来自生产者模型的四个类型）。

状态空间 $\mathcal{S} = [0, \bar{\theta}] \times (0, \bar{W}] \times [0, \bar{T}] \times [0, \bar{n}] \times \Delta^4$ 是 $\mathbb{R}^8$ 中的紧子集。

1.2 截面分布#

定义 1.1（截面分布）。产业状态是所有活跃创作者的状态联合分布：

其中 $\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 是 $\mathcal{S}$ 上的 Borel 概率测度空间，赋以弱收敛拓扑。$\mu_t$ 主要描述 $t$ 时刻市场上有哪些声誉水平、哪些热情状态、哪些类型构成的创作者在活动。

1.3 聚合量与投影#

从 $\mu$ 可以计算出若干商品聚合量，它们作为消费者和无料层的输入：

市场层聚合量：

其中 $\bar{x}_{i,a_j}(s)$ 是状态为 $s$ 的创作者在混合过程下对资产 $a_j$ 的期望配置$S_H, S_L$ 分别是同人本A类作品和同人谷B类作品的市场层总供给。

无料层：

$(g, \omega)$ 是 $\mu$ 在无料状态空间 $[0,1] \times \Delta^4$ 上的投影。这一投影是多对一的，很多不同的 $\mu$ 可以产生同一个 $(g, \omega)$，因为人可以对应很多种行动。

声誉分布：

即声誉的边际分布。消费者在传播网络中面对的市场上有哪些创作者可选由 $\Theta(\mu)$ 决定。因为消费者无法看到全局的创作者，只能依照观察到的声誉进行优先排序。

1.4 网络拓扑参数#

同人市场有两个拓扑上截然不同的网络同时运作。无料网络（高聚类的小世界，由 Jackson & Rogers 2007 的朋友圈搜索生成）和市场网络（低聚类的辐射网，由 Barabási-Albert 优先连接生成）。两个网络通过不同的通道进入均衡。

定义 1.2（网络参数向量）。两个网络由一个联合外生参数向量刻画：

前三个参数描述无料网络：$s$ 是随机遇见概率，$m_\ell$ 是每期每个新进入者形成的链接数，$p_r$ 是互惠回路概率。第四个参数 $\alpha_{\text{net}} > 1$ 描述市场网络：它是市场网络度分布的帕累托指数，度分布 $P(k \geq x) \sim x^{-(\alpha_{\text{net}}-1)}$。$\alpha_{\text{net}}$ 越小，市场网络越集中于少数高连接度的大V；$\alpha_{\text{net}}$ 越大，市场网络趋向均匀。

$\mathbf{n}$ 通过以下五条通道进入均衡（N1-N4 来自无料网络，N5 来自市场网络）：

(N1) 可视范围分布。个体状态中的 $n_i = |N_i^{\text{circle}}|$ 的截面分布由 $\mathbf{n}$ 确定。Jackson-Rogers 模型的稳态度分布为

$s$ 越小，幂律指数 $\gamma_{\text{net}}$ 越小、尾部越重，可以理解为少数无料枢纽拥有极大覆盖。$s$ 越大，度分布趋向泊松分布，覆盖范围趋于均匀。

(N2) 声誉传播的局部性。礼物网络的聚类系数 $C(\mathcal{G}) = f(s, p_r)$ 决定了声誉信号在消费者群体中的传播结构。$C$ 高意味着信息在小圈子内快速传播但跨圈子慢，因此声誉的有效覆盖受制于网络的局部连通性。这一效应在将在下面的偏好动态中被显式建模。

(N3) 协作概率的调制。生产者理论的协作约束 $p_{\text{collab}}(\theta_i, q_{i,B})$ 被随机遇见概率 $s$ 调制：随机遇见概率$s$ 小时圈内协作容易但跨圈协作难，随机遇见概率$s$ 大时协作机会更分散但平均概率更低。形式地：

其中 $\psi(s)$ 是网络的协作连通性函数（随机遇见概率$s$ 的非单调函数——极端的 $s=0$ 和 $s=1$ 都不利于协作，中间值最优）。

(N4) 枢纽的脆弱性。重尾度分布使得无料商品的聚合 $g(\mu)$ 对高度数节点高度（大V）敏感。定义枢纽集中度为

即 top 1% 度数节点对礼物层总产出的贡献份额。$\text{Hub}$ 越高，单个枢纽退出对无料商品的聚合 $g(\mu)$ 的冲击越大，市场整体的均衡对圈子老人退出越脆弱。

(N5) 搜索成本与声誉权重的调制。市场网络上的消费者搜索行为服从 Stigler (1961) 的最优搜寻模型。当市场网络的帕累托指数 $\alpha_{\text{net}}$ 较低时，质量分布的方差大，消费者面临的搜寻成本 $c_j$ 高，贝叶斯更新中声誉的权重上升。极端情形 $\alpha_{\text{net}} < 2$ 时方差发散，搜寻成本趋于无穷，所有消费者退化为纯声誉依赖（§3.2 详述）。

约定 1.2。$\mathbf{n}$ 作为均衡的外生参数处理，也就是网络结构不被某个创作者的进入退出内生改变。

2.1 混合 Bellman 方程#

在均衡价格 $(p_H, p_L)$ 和截面分布 $\mu$ 给定下，创作者的递归问题如下。

定义 2.1（混合值函数）。对混合向量 $\mathbf{q}$ 和价格 $(p_H, p_L)$，创作者的值函数定义为

其中状态转移为：

时间禀赋 $T'$ 按外生过程演化。期望作用在 $\xi^{\text{shock}}$（塌方）和 $T'$（时间禀赋冲击）的联合分布上。

$\mathbf{q}$ 进入值函数的方式是对各类型连续值的概率加权，不是对效用的加权聚合。

命题 2.1（值函数的存在唯一性）。在以下条件下，$V$ 存在且唯一：

(i) 状态空间 $\mathcal{S}$ 紧；(ii) 回报函数 $\langle u_k, \boldsymbol{\rho} \rangle - E$ 对 $(\theta, W, T, \mathbf{x})$ 连续且有界；(iii) 转移概率对状态弱连续；(iv) $\beta \in (0, 1)$。

证明的lean代码如下：

1
import Mathlib.Topology.MetricSpace.Contracting
2
import Mathlib.Topology.MetricSpace.Basic
3
import Mathlib.Analysis.SpecificLimits.Basic
4
import Mathlib.Analysis.Convex.Basic
5

6
open Metric
7
theorem bellman_fixed_point_exists
8
    {F : Type*} [MetricSpace F] [CompleteSpace F] [Nonempty F]
9
    (T : F → F)
10
    (β : NNReal)
11
    (_hβ : β < 1)
12
    (hT : ContractingWith β T) :
13
    ∃! v : F, T v = v :=
14
  ⟨hT.fixedPoint, hT.fixedPoint_isFixedPt,
15
   fun _ hv => hT.fixedPoint_unique hv⟩

2.2 策略函数与混合涌现#

定义 2.2（类型纯策略）。给定 $V$，机制 $k$ 的纯策略为

由 Berge 极大值定理，$\mathbf{x}_k^*$ 在 $s$ 上是上半连续的对应（在标准正则条件下为连续函数）。

观察到的创作组合为混合涌现 $\bar{\mathbf{x}}(s; p) = \sum_k q_k \, \mathbf{x}_k^*(s; p)$。

2.3 进入与退出#

退出。创作者在 $W_i(t) \leq 0$（内生退出）或以概率 $p_{\text{exit}}^{\text{exo}}(T_i, \mathbf{q}_i)$（外生退出）时离开市场。

进入。每期有外生的创作者进入流 $\nu_{\text{entry}} \in \mathcal{P}(\mathcal{S})$——新人的初始状态分布。进入率 $\lambda_{\text{entry}} > 0$ 为外生参数。

转移核。给定价格 $p$ 和策略 $\{\mathbf{x}_k^*\}$，从 $\mu$ 到 $\mu'$ 的转移 $\mathcal{T}_\mu$ 由三步组成，精确定义请参照附录1：

• (i) 存活的创作者按 $(\theta', W', T')$ 转移状态；
• (ii) 退出者被移除；
• (iii) 新进入者按 $\nu_{\text{entry}}$ 加入。

3.1 同人消费需求#

消费者按如下效用函数配置预算。给定价格 $(p_H, p_L)$ 和收入 $m$，最优需求为

其中 $m^s = m - p_H \gamma_H - p_L \gamma_L$ 是超量收入。$\gamma_H, \gamma_L > 0$ 是承诺消费量。

性质。$Q_H^*$ 和 $Q_L^*$ 对 $(p_H, p_L)$ 连续可微（在 $m^s > 0$ 的内部）。承诺消费 $\gamma_H > 0$ 保证了 $Q_H^* \geq \gamma_H > 0$，即同人本有承诺消费的底线。

3.2 偏好动态与声誉反馈的网络调制#

消费者对创作者 $i$ 的偏好 $\alpha_i(t)$ 按习惯积累方程更新，但声誉信号的传播受礼物网络拓扑的调制。消费者 $j$ 对创作者 $i$ 的偏好更新为

其中 $\pi_{ij}(\mathbf{n}) \in [0, 1]$ 是网络可达性——消费者 $j$ 观察到创作者 $i$ 的声誉信号的概率。$\pi_{ij}$ 由网络参数 $\mathbf{n}$ 决定：

• 若 $j \in N_i^{\text{circle}}$（$j$ 在 $i$ 的可视范围内），$\pi_{ij} = 1$；
• 若 $j$ 与 $i$ 之间的网络距离为 $d$，$\pi_{ij}$ 随 $d$ 单调递减；
• 聚类系数 $C(\mathcal{G})$ 高时，$i$ 的信号在密集子图内 $\pi_{ij} \approx 1$ 但跨子图 $\pi_{ij} \approx 0$。

聚合到群体层面，创作者 $i$ 的有效需求基数不是全体消费者 $M$，而是

在稳态下，群体平均的偏好收敛到

网络拓扑因此在声誉和需求之间引入了一个衰减因子 $M_i^{\text{eff}} / M$：位于密集子图中心的创作者（高 $n_i$）有 $M_i^{\text{eff}} / M$ 接近 1；位于网络边缘的创作者有 $M_i^{\text{eff}} / M \ll 1$。即使声誉 $\theta_i$ 相同，后者面临的有效需求也显著更低。

3.3 声誉权重的贝叶斯结构#

偏好方程中的 $f(\theta_i)$ 不是一个任意的映射——它内含一个贝叶斯更新结构。消费者 $j$ 面对创作者 $i$ 时，对制品质量的后验预期为

其中 $\mu_0(\theta_i)$ 是声誉先验，$S_i$ 是当期信号（宣发、试阅等），贝叶斯权重为

$\sigma_0^2$ 是声誉先验的方差，$\sigma_s^2$ 是信号噪声的方差。声誉与无标度网络篇证明了 $\alpha_j^{\text{Bayes}}$ 对消费者信息财富 $W_j \propto 1/c_j$ 满足

即声誉是信息意义上的劣等品：信息财富越高的消费者越不依赖声誉先验，越依赖当期信号。$f(\theta_i)$ 因此隐含了两层消费者异质性

• 网络可达性 $\pi_{ij}(\mathbf{n})$ 决定信号能否到达消费者 $j$（通道 N2）；
• 贝叶斯权重 $\alpha_j^{\text{Bayes}}(W_j)$ 决定到达后消费者以多大权重采信声誉（通道 N5）。

市场网络的帕累托指数 $\alpha_{\text{net}}$ 通过 $\sigma_s^2$ 影响全体消费者面临的信号噪声。当 $\alpha_{\text{net}}$ 下降，表征为市场网络更集中、质量方差更大，$\sigma_s^2$ 上升，$\alpha_j^{\text{Bayes}}$ 对所有消费者上升，市场整体更依赖声誉。

方差发散的极端情形：当 $\alpha_{\text{net}} < 2$ 时，帕累托分布的方差发散，$\sigma_s^2 \to \infty$，则

所有消费者都退化为纯声誉依赖。当期信号 $S_i$ 完全失去信息价值。

在均衡中这意味着：$f(\theta_i)$ 退化为 $\mu_0(\theta_i)$，偏好更新不再响应任何当期行为，新人创作者无论发出多强的信号都无法突破声誉壁垒。这一退化对于比较静态下的均衡有直接影响。

5.1 供给聚合#

给定截面分布 $\mu$ 和价格 $p = (p_H, p_L)$，市场层总供给为

$\bar{x}_{a_j}(s; p)$ 依赖价格是因为价格进入效用函数 $u_A$ 的利润 $\pi_i$ 项。也就是生产者理论中，A 型机制被抽中时，创作组合选择会响应价格。

5.2 出清条件#

定义 5.1（市场出清）。给定 $\mu$，均衡价格 $p^*(\mu) = (p_H^*, p_L^*)$ 满足

5.3 价格映射的性质#

命题 5.1（价格映射的连续性）。在以下条件下，$p^*: \mathcal{P}(\mathcal{S}) \to \mathbb{R}_{++}^2$ 是弱连续的：

• (i) 需求函数 $Q^*$ 对 $p$ 严格递减（正常品的需求定律）；
• (ii) 供给函数 $S$ 对 $p$ 弱递增（A 型在价格更高时倾向于多供给）；
• (iii) 在边界处需求超过供给（保证内点解存在）。

承诺消费 $\gamma_H > 0$ 在这里保证了 $Q_H^* \geq \gamma_H > 0$，使得同人本市场的需求底线为正。即使供给极低，价格也不会到无穷。

6.1 定义#

定义 6.1（稳态均衡）。给定网络参数 $\mathbf{n} \in \mathcal{N}$，一个稳态均衡是状态 $\bigl(\mu^*,\; p^*,\; V^*,\; \{\mathbf{x}_k^*\}_{k \in \{A,B,D,E\}}\bigr)$ 满足以下六个条件：

(E1) 混合 Bellman 最优。$V^*$ 是定义 2.1 在价格 $p^*$ 下的不动点，$\mathbf{x}_k^*$ 是对应的类型纯策略（定义 2.2）。

(E2) 混合涌现。每个创作者的观察 portfolio 为 $\bar{\mathbf{x}}(s) = \sum_k q_k \, \mathbf{x}_k^*(s;\, p^*)$。

(E3) 市场出清。$(p_H^*, p_L^*)$ 满足定义 5.1 的出清条件。

(E4) 截面分布不变。$\mu^*$ 在转移核 $\mathcal{T}_\mu$ 下不变：

即进入流、退出流和状态转移的净效应恰好维持 $\mu^*$ 不变。

(E5) 无料层可生存性。$\mu^*$ 的无料层投影落在可生存性核内：

6.2 存在性#

定理 6.1（稳态均衡的存在性）。在以下条件下，满足 (E1)-(E5) 的稳态均衡存在：

(A1) 状态空间 $\mathcal{S}$ 是紧的。

(A2) 回报函数 $\langle u_k, \boldsymbol{\rho} \rangle - E$ 对所有变量连续且有界。

(A3) 转移概率关于状态弱连续。

(A4) $\beta \in (0, 1)$。

(A5) 需求函数 $Q^*$ 对价格连续，对自价格严格递减。

(A6) 进入率 $\lambda_{\text{entry}} > 0$，进入分布 $\nu_{\text{entry}}$ 对 $K_{\text{ext}}$ 有正支撑（即新进入者的 $\mathbf{q}_i$ 分布使得 $\omega_B + \omega_D + \omega_E$ 的群体均值在可生存性核内部）。

证明：

第一步：值函数存在。已证明，由命题 2.1，对每个 $(p, \mathbf{q})$，$V^*(\cdot; \mathbf{q}, p)$ 存在唯一。

第二步：策略函数连续。由 Berge 极大值定理和条件 (A1)(A2)，$\mathbf{x}_k^*(s; p)$ 关于 $(s, p)$ 上半连续。在标准正则条件下，$\mathbf{x}_k^*$ 为连续函数。

第三步：价格映射连续。由命题 5.1 和条件 (A5)，$p^*(\mu)$ 是 $\mu$ 的弱连续函数。

第四步：转移核连续。由第二步和条件 (A3)，转移核 $\mathcal{T}_\mu(\mu, p)$ 关于 $(\mu, p)$ 弱连续。

第五步：复合映射与不动点。定义 $\Phi: \mathcal{P}(\mathcal{S}) \to \mathcal{P}(\mathcal{S})$ 为

由第三步和第四步，可得$\Phi$ 弱连续。$\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 在弱拓扑下是紧凸的。由 Schauder 不动点定理，$\Phi$ 有不动点 $\mu^* = \Phi(\mu^*)$。这一 $\mu^*$ 满足 (E1)-(E4)。

第六步：可生存性筛选。第五步给出的不动点 $\mu^*$ 不一定落在 $K_{\text{ext}}$ 内。把不动点问题限制在

上。$\mathcal{P}_K$ 是 $\mathcal{P}(\mathcal{S})$ 的闭子集（因为 $g$ 和 $\omega$ 是 $\mu$ 的连续泛函，$K_{\text{ext}}$ 是闭集）。若 $\Phi$ 把 $\mathcal{P}_K$ 映入自身，即 $K_{\text{ext}}$ 在 $\Phi$ 下不变，则 Schauder 定理在 $\mathcal{P}_K$ 上给出满足 (E5) 的不动点。

$K_{\text{ext}}$ 在 $\Phi$ 下不变的充分条件是条件 (A6)：进入流持续注入足够的 B/D/E 型创作者，使得即使 A 型因塌方或信号污染退出，$\omega_B + \omega_D + \omega_E$ 的群体均值也不跌破社群支撑下界 $\underline{\omega}_{\text{floor}}$。

注 6.1（唯一性）。定理 6.1 不保证唯一性。声誉反馈环路可能产生多重稳态。一个”高声誉-高需求-高利润-高存活”的好均衡和一个”低声誉-低需求-低利润-高退出”的坏均衡可能同时存在。多重均衡在 Hopenhayn 框架的扩展中是常见的（Ericson & Pakes 1995）。无料的形式化工作里，的可生存性核 $K_{\text{ext}}$ 排除了一部分无料层上的不良均衡，但不保证在 $K_{\text{ext}}$ 内部只有一个均衡。

6.1证明的Lean代码如下：

1
axiom schauder_fixed_point
2
    {X : Type*} [TopologicalSpace X] [AddCommMonoid X] [Module ℝ X]
3
    (K : Set X)
4
    (hK_compact : IsCompact K)
5
    (hK_convex : Convex ℝ K)
6
    (hK_nonempty : K.Nonempty)
7
    (Φ : X → X)
8
    (hΦ_cont : Continuous Φ)
9
    (hΦ_maps : ∀ x ∈ K, Φ x ∈ K) :
10
    ∃ x ∈ K, Φ x = x
11

12
structure EquilibriumData (P : Type*) [TopologicalSpace P] [AddCommMonoid P] [Module ℝ P] where
13
  admissible : Set P
14
  Φ : P → P
15
  admissible_compact : IsCompact admissible
16
  admissible_convex : Convex ℝ admissible
17
  admissible_nonempty : admissible.Nonempty
18
  Φ_continuous : Continuous Φ
19
  Φ_maps_admissible : ∀ μ ∈ admissible, Φ μ ∈ admissible
20

21
theorem steady_state_equilibrium_exists
22
    {P : Type*} [TopologicalSpace P] [AddCommMonoid P] [Module ℝ P]
23
    (E : EquilibriumData P) :
24
    ∃ μ ∈ E.admissible, E.Φ μ = μ :=
25
  schauder_fixed_point
26
    E.admissible E.admissible_compact E.admissible_convex
27
    E.admissible_nonempty E.Φ E.Φ_continuous E.Φ_maps_admissible

7.1 投影算子#

定义 7.1（无料层投影）。定义投影算子 $\Pi: \mathcal{P}(\mathcal{S}) \to [0,1] \times \Delta^4$ 为

其中 $g(\mu)$ 和 $\omega(\mu)$ 在之前已经定义。$\Pi$ 是多对一的：很多不同的 $\mu$ 可以产生同一个 $(g, \omega)$。

7.2 兼容性条件#

无料的形式化工作在 $(g, \omega)$ 空间上定义了微分包含

其中 $F$ 有两个分量：

定义 7.2（投影兼容性，条件 E6）。均衡满足投影兼容性，当且仅当对 $\mu^*$ 的任意邻域扰动 $\mu^* + \varepsilon \, \delta\mu$，诱导的 $(g, \omega)$ 变化率落在 $F$ 内：

对所有满足 $\mu^* + \varepsilon \, \delta\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{S})$ 的扰动方向 $\delta\mu$ 成立。

命题 7.1（兼容性的充分条件）。投影兼容性在以下条件下成立：

(i) 均衡的创作组合的调整速度，即 $\bar{x}_{a_G}(s; p)$ 对 $p$ 的弹性，落在 $[\underline{\lambda}, \overline{\lambda}]$ 区间内。

(ii) 进入退出流对 $\omega_k$ 的影响速率，即每期进入者和退出者的类型构成差异，有界于 $\mu_k$。

命题的证明可以在附录2找到

7.3 无料形式化命题的所有推导#

无料层的核心命题现在可以从完整均衡中推导：

观察 1 礼物层的结构性下界：在稳态均衡中，$g(\mu^*) > 0$ 由 (E5) 保证，即社群支撑下界$K_{\text{ext}}$ 要求 $\omega_B + \omega_D + \omega_E \geq \underline{\omega}_{\text{floor}}$，而根据生产者理论这些类型的创作组合在无料资产 $a_G$ 上有正权重，因此 $g > 0$。

观察 2 圈子间差异是创作者类型 $\omega$ 的分布差异：不同圈子对应不同的 $\nu_{\text{entry}}$（进入者的 $\mathbf{q}_i$ 分布不同），导致稳态 $\mu^*$ 不同，投影到不同的 $(g^*, \omega^*)$。

总无料发放频率下界 $\rho_{\text{free}}^{\text{floor}}$ 的微观基础：B/D/E 主导子群体的创作组合份额对外部激励不敏感，因此 $g(\mu^*)$ 对外部激励有一个正的下界。

8.1 动机#

完整稳态均衡要求每个创作者在完整截面分布 $\mu$ 下做最优决策。但在同人市场中，没有创作者真的观察到 $\mu$，因为信息限制，他们只感知到大概的行情。Weintraub, Benkard & Van Roy (2008) 的 oblivious equilibrium 把 $\mu$ 的完整信息替换为一个低维的长期平均统计量。

8.2 定义#

定义 8.1（Oblivious 均衡）。定义长期平均状态为

其中 $\bar{\theta} = \mathbb{E}_{\mu^*}[\theta_i]$，$N_H, N_L$ 分别为同人本和同人谷市场的活跃创作者数。

一个 oblivious 均衡是状态 $(\hat{\mu}, \bar{m}^*, \hat{V}, \{\hat{\mathbf{x}}_k\})$ 满足：

• (O1) Oblivious Bellman。$\hat{V}(\theta, W, T; \mathbf{q}, \bar{m}^*)$ 求解定义 2.1 的 Bellman，但将截面分布的影响压缩到 $\bar{m}^*$ 中——价格直接取 $\bar{m}^*$ 的 $(p_H, p_L)$ 分量。
• (O2) 长期平均一致。$\bar{m}^*$ 等于 $\hat{\mu}$ 下的长期平均：$\bar{m}^* = \mathbb{E}_{\hat{\mu}}[(\theta, \mathbb{1}_{H}, \mathbb{1}_{L}, p_H, p_L)]$。
• (O3) 稳态与可生存性。$\hat{\mu}$ 是不变分布且 $\Pi(\hat{\mu}) \in K_{\text{ext}}$。

8.3 与完整均衡的近似关系#

命题 8.1（Oblivious 近似）。当活跃创作者数 $N \to \infty$ 时，oblivious 均衡 $(\hat{\mu}, \bar{m}^*)$ 趋近完整稳态均衡 $(\mu^*, p^*)$。具体地：

这是 Weintraub-Benkard-Van Roy (2008) 定理 1 的直接推论。

当 $N$ 大时，$\mu$ 的随机波动对任何单个创作者的影响为 $O(1/N)$，因此忽略截面分布的精确形态只引入 $O(1/N)$ 的值函数误差。

同人市场通常有数百到数千个活跃创作者，$N$ 足够大使得近似有效。

Oblivious 均衡把 Banach 空间上的不动点问题（求 $\mu^*$）简化为 $\mathbb{R}^5$ 上的不动点问题（求 $\bar{m}^*$），使得数值计算成为可能。

9.1 消费者收入冲击#

命题 9.1。消费者收入 $m$ 的正向冲击 $\Delta m > 0$ 在稳态比较静态下：

• (i) $p_H^*$ 上升（同人本需求增加导致均衡价格上升）；
• (ii) A 型创作者的 $W_i$ 上升（效用函数$u_A$ 中利润 $\pi_i$ 增加）使得退出率下降，同人本创作人数$N_H$ 增加；
• (iii) A型创作者存活率 $\omega_A(\mu^*)$ 上升使得无料层的分布 $g(\mu^*)$ 可能下降（A 型的创作组合在无料 $a_G$ 上的份额低于 B/D/E 型）。

(iii) 表明消费者收入的增加可能降低市场上的无料供给。

9.2 创作者类型构成冲击#

命题 9.2。若创作者的进入分布 $\nu_{\text{entry}}$ 中 A 型权重系统性上升，例如商业化浪潮吸引更多以声誉投资为目的的创作者进入，则：

• (i) 比例$\omega_A(\mu^*)$ 上升，用爱发电比例 $\omega_B + \omega_D + \omega_E$ 下降；
• (ii) 若下降幅度使无料层投影 $\Pi(\mu^*)$ 逼近无料可生存性核 $K_{\text{ext}}$ 的边界，声誉信号通道开始退化；
• (iii) 极端情况下无料层投影 $\Pi(\mu^*)$ 越过边界，稳态均衡不再存在于 $\mathcal{P}_K$ 内，系统进入不可持续状态。

这也就是为什么，商业化平台容易被投机吞噬

9.3 网络拓扑冲击#

稳态均衡 $\mu^*(\mathbf{n})$ 对网络参数 $\mathbf{n} = (s, m_\ell, p_r)$ 的响应刻画最重要的几个命题。

命题 9.3（聚类系数与市场分割）。当 $s$ 下降（朋友圈搜索权重上升）导致聚类系数 $C(\mathcal{G})$ 上升时：

• (i) 声誉传播使得回声室效应加剧。有效需求基数 $M_i^{\text{eff}} / M$ 在圈内创作者处上升、在圈外创作者处下降。均衡中 $\Theta(\mu^*)$ 的声誉分布变得更极端，即小圈子内，圈内创作者声誉高且集中，圈外创作者声誉低且分散。
• (ii) 同人本市场从一个统一市场裂解为若干局部子市场，每个子市场由一个密集子图的内部需求支撑。子市场之间的价格差异可以持续存在（不被套利消除，因为信息不跨子图流动）
• (iii) 协作概率 $p_{\text{collab}}$ 在圈内上升（朋友的朋友更容易协作）但在圈外下降，使得B 型修正项的协作效应被网络锁定在子图内部，无法在小圈子之间流动。

命题 9.4（枢纽脆弱性与可生存性边际）。当度分布尾部更重（$\gamma_{\text{net}}$ 下降，少数枢纽更大）时：

• (i) 枢纽集中度 $\text{Hub}(\mu, \mathbf{n})$ 上升 → $g(\mu^*)$ 对单个枢纽退出更敏感；
• (ii) 若枢纽退出是随机的（如塌方事件 $\xi^{\text{shock}}$ 命中高度数节点），无料层的$g(\mu)$ 经历离散跳跃，可能将无料状态 $(g, \omega)$ 瞬时推到无料可生存核 $K_{\text{ext}}$ 边界之外；
• (iii) 这一脆弱性在定理 6.1 的存在性证明中表现为：$K_{\text{ext}}$ 的不变性（第六步）对重尾网络更难保证，进入流 $\nu_{\text{entry}}$ 必须不仅补充 B/D/E 类型权重，还必须补充网络中心性，通俗来讲，即新进入者必须有足够概率通过朋友圈搜索进入枢纽邻域。

命题 9.5（帕累托指数与声誉锁定）。当市场网络的帕累托指数 $\alpha_{\text{net}}$ 下降时，通过声誉的贝叶斯权重通道产生以下级联：

• (i) 帕累托指数 $\alpha_{\text{net}}$ 下降使得质量分布方差上升，导致市场整体更依赖声誉先验 $\mu_0(\theta_i)$，当期信号 $S_i$ 的信息价值下降。
• (ii) 当期信号贬值直接削弱新人创作者突破声誉壁垒的能力，后发者被迫支付增长的沉没成本。
• (iii) 由于创作者新人进入的有效性下降，进入流 $\nu_{\text{entry}}$ 在声誉维度上失效（新人进入但 $\theta_i$ 无法增长），使得截面分布 $\mu^*$ 退化为少数高声誉节点主导的集中分布。
• (iv) 集中分布意味着A型的比例 $\omega_A(\mu^*)$ 上升，因为只有 A 型从声誉锁定中获利，也在推动无料状态 $(g, \omega)$ 向无料可生存性核 $K_{\text{ext}}$ 边界移动。

这给出关于先来者优势论述在均衡框架中的严格论证，市场网络的无标度程度（$\alpha_{\text{net}}$）是一个独立于礼物网络参数的脆弱性来源，它通过市场层的声誉锁定消除了新人进入流的有效性。一个圈子的礼物层可能健康，但如果市场网络的帕累托指数 $\alpha_{\text{net}}$ 过低，市场层仍然退化为寡头垄断。可以感性理解为，火热且没有官方对推荐算法引导的IP对新人天然地不友好。

11.1 去网络化极限（D1）#

定义 11.1（去网络化参数极限）。取 $s \to 1$（纯随机遇见，无朋友圈搜索）、$\alpha_{\text{net}} \to \infty$（市场网络度分布趋向均匀），并令初始链接数 $m_\ell$ 足够大使得礼物网络在 $N$ 个节点上近似完全图。

命题 11.1（去网络化退化）。在极限 D1 下：

(i) §1.4 的五条网络通道全部退化——

• (N1) $n_i \to N \;\forall i$，可视范围分布退化为单点。
• (N2) $\pi_{ij} \to 1 \;\forall (i,j)$，$M_i^{\text{eff}} \to M$。§3.2 的偏好方程退化为注 3.1 的特例：$\alpha_i(t) = \lambda\, \alpha_i(t-1) + (1-\lambda)\, f(\theta_i)$。声誉信号无衰减地到达所有消费者。
• (N3) $p_{\text{collab}}$ 不再被 $s$ 调制，协作概率只取决于 $(\theta_i, q_{i,B})$。
• (N4) $\text{Hub}(\mu, \mathbf{n}) \to 0$——度分布退化为均匀，无枢纽，$g(\mu)$ 对任何单个创作者的退出不敏感。
• (N5) $\alpha_{\text{net}} \to \infty$ 使帕累托分布方差 $\to 0$，信号噪声 $\sigma_s^2 \to 0$，但此效应归入 D2。

(ii) 个体状态空间降维——$n_i$ 成为常数，$\mathcal{S}$ 的有效维度从 8 降至 7：

(iii) 均衡条件 (E1)–(E4) 不变。(E5) 的 $K_{\text{ext}}$ 仍然约束 $\omega_B + \omega_D + \omega_E \geq \underline{\omega}_{\text{floor}}$，但 $\text{Hub}$ 脆弱性消失，因为定理 6.1 第六步中 $\mathcal{P}_K$ 在 $\Phi$ 下的不变性更容易保证（命题 9.5(iii) 的额外进入条件不再需要）。

(iv) §9 的比较静态中，命题 9.4（市场分割）、9.4（枢纽脆弱性）失去内容——市场是统一的，没有枢纽。命题 9.1（收入冲击）、9.2（类型构成冲击）保留完整，因为它们通过价格和类型构成通道运作，不依赖网络。

各通道的退化由 $s \to 1$ 在 Jackson-Rogers 模型中的极限行为直接给出：$s = 1$ 时新节点只通过随机遇见连接，度分布为泊松分布，当 $m_\ell$ 大且 $N$ 有限时趋向完全图。$\pi_{ij} = 1$ 因为所有节点两两直接相连。$\text{Hub} = 0$ 因为最高度数 $= N-1$ 对所有节点相同。

11.2 无市场的原初形态#

原初的同人社群应该是缺乏市场结构，只有无料结构的，这是因为初期出现同人作者的情况，经常是趁着官方的风而长大的，而在这个过程中，如果给作品贸然定价，则会影响作品在外部的传播性，这也就是下面讲述的损失的效用。关于小社群的原初形态，我们可以看成是一个无网络结构的无料均衡，这一点已经在无料的形式化工作中完成了。

但是纯无料均衡不是永远稳定的。当以下条件被满足时，$\bar{x}_{a_M} = 0$ 不再是所有创作者的最优选择。市场层将从零供给中自发涌现。

定义 11.2（涌现偏离）。在无料均衡 $(\mu^{\text{D0}}, \mathbf{x}^{\text{D0}})$ 下，考虑一个拥有类型 $\mathbf{q}$ 且 $q_A > 0$ 的创作者的偏离：将 $\varepsilon > 0$ 单位的精力从礼物配置转移到市场配置，以价格 $p > 0$ 出售。偏离的单期净收益为

其中 $r(\varepsilon, s)$ 是在状态 $s$ 下市场配置 $\varepsilon$ 产生的销售量，$c_M(\varepsilon)$ 是额外的市场渠道成本（印刷、摊位费等），$\ell_k(\varepsilon, s)$ 是 B/D/E 机制因礼物配置减少 $\varepsilon$ 而损失的效用，例如，互惠回路变少（$\ell_B$）、自我表达的公开覆盖面收窄（$\ell_D$）、社交接触点减少（$\ell_E$）。

命题 11.3（市场涌现条件）。纯无料均衡在以下三个条件同时满足时不稳定（即市场层涌现）：

(M1) 质量分化。创作者之间的作品质量方差 $\text{Var}_{\mu^{\text{D0}}}[\text{quality}_i]$ 超过阈值 $\underline{v}$ ——消费者能逐渐开始区分高，低质量，因此愿意为高质量支付正价格。

形式地：存在消费者保留价格 $\bar{p}(\text{quality}) > 0$ 对 $\mu^{\text{D0}}$-正测度集上的创作者成立。

(M2) 成本压力。高质量产出的精力成本 $E(\mathbf{x})$ 超过纯无料效用能持续承担的水平，存在一群边际创作者，他们在纯无料模式下面临热情预算 $W' \leq 0$，但若能获得市场收入则热情预算 $W' > 0$：

即市场收入是这些创作者的生存机制，不是贪欲而是必需。

(M3) 消费者支付意愿。存在正测度的消费者群体愿意在价格 $p > 0$ 下购买承诺消费 $\gamma_H > 0$ 保证了这一点。$\gamma_H$ 单位的同人本需求由无料层的免费同人本满足。这时市场涌现要求边际创作者的作品质量显著高于无料层平均水平，使得消费者愿意额外付费获取差异化产品，而非仅消费免费版本。

命题 11.4（涌现的相变性质）。市场涌现不是渐进的，它是一个相变：

(i) 当 $\text{Var}[\text{quality}]$ 小时，消费者的保留价格 $\bar{p} \to 0$，这意味着所有作品质量相近，无理由付费，偏离收益 $\Delta u < 0$。当 $E$ 小时，纯无料模式下所有创作者热情预算 $W' > 0$，边际创作者集 $S_{\text{margin}} = \emptyset$，无生存压力驱动偏离。

(ii) 当 $\text{Var}[\text{quality}] > \underline{v}$ 且 $S_{\text{margin}}$ 非空时，$\Delta u(\varepsilon^*, p^*; s) > 0$ 对 $s \in S_{\text{margin}}$ 成立。这些创作者偏离后以正价格出售，获得市场收入。偏离者的存在创造了非零供给 $S_H > 0$，消费者模型的出清条件开始约束，价格 $p^*$ 从不存在跳跃到正值。

(iii) 相变来自 $\Delta u$ 的非线性结构：偏离收益在阈值以下为负（礼物层效用损失主导）、阈值以上为正（市场收入主导），且跨零点时斜率为正。

(iv) 不可逆性来自 A 型进入的正反馈：$\omega_A > 0$，这使得市场供给正，让价格信号得以存在，而吸引更多 A 型机制进入。逆向（回到 $\omega_A = 0$）需要所有 A 型机制同时退出，但每个 A 型机制行动的退出条件是 $W_i \leq 0$，而只要 $p^* > 0$ 且有正需求，A 型的 $W_i$ 就有正支撑。加上习惯粘性，这几乎不可能。

市场涌现创造了三角形的市场顶点，同时引入了 $\omega_A > 0$ 带来的类型构成张力。不可能三角因此不是同人市场的先天结构，而是市场涌现的后果。

公理#

公理 A（Berge 极大值定理）。设 $X$ 为紧 Hausdorff 空间，$\Theta$ 为拓扑空间，$f: X \times \Theta \to \mathbb{R}$ 连续，$\Gamma: \Theta \rightrightarrows X$ 为连续对应且取非空紧值。则：

• (a) 值函数 $V^*(\theta) = \max_{x \in \Gamma(\theta)} f(x, \theta)$ 连续；
• (b) argmax 对应 $x^*(\theta) = \arg\max_{x \in \Gamma(\theta)} f(x, \theta)$ 上半连续且取非空紧值。

公理 B（Schauder 不动点定理）。设 $C$ 为局部凸拓扑向量空间中的非空紧凸子集，$\Phi: C \to C$ 连续。则 $\Phi$ 有不动点。

公理 C（Prokhorov 定理）。设 $S$ 为完备可分度量空间。$\mathcal{M} \subset \mathcal{P}(S)$ 在弱拓扑下列紧当且仅当 $\mathcal{M}$ 是胎紧的。

正则性条件汇总#

以下条件在整个证明中反复引用，统一编号以避免歧义。

(R1) $\mathcal{S} = [0, \bar{\theta}] \times (0, \bar{W}] \times [0, \bar{T}] \times [0, \bar{n}] \times \Delta^4$ 是 $\mathbb{R}^8$ 中的紧度量空间（赋以欧氏度量的子空间拓扑）。

(R2) 对每个 $k \in \{A,B,D,E\}$，回报函数 $(s, \mathbf{x}, p) \mapsto \langle u_k, \boldsymbol{\rho}(\mathbf{x}; p) \rangle - E(\mathbf{x})$ 在 $\mathcal{S} \times \mathbb{R}^d_+ \times \mathbb{R}^2_{++}$ 上连续且有界。

(R3) 对每个 $k \in \{A,B,D,E\}$，转移概率 $Q_k(\cdot \mid s, \mathbf{x}, p): \mathcal{S} \times \mathbb{R}^d_+ \times \mathbb{R}^2_{++} \to \mathcal{P}(\mathcal{S})$ 关于 $(s, \mathbf{x}, p)$ 弱连续。

即对任意有界连续 $\varphi: \mathcal{S} \to \mathbb{R}$，映射 $(s, \mathbf{x}, p) \mapsto \int \varphi(s')\, Q_k(ds' \mid s, \mathbf{x}, p)$ 连续。$Q_k$ 对 $k$ 的依赖来自热情预算转移 $W' = W + u_k(s, \mathbf{x}) - E(\mathbf{x})$；对 $\mathbf{x}$ 的依赖来自声誉转移 $\theta' = [\theta + \gamma_j I q^D(\mathbf{x}; p)] \xi^{\text{shock}}$ 和热情预算转移中的 $E(\mathbf{x})$。在后续引理中，当转移核在策略 $\mathbf{x}_k^*$ 处求值时，记 $Q_k^*(ds' \mid s, p) = Q_k(ds' \mid s, \mathbf{x}_k^*(s; p), p)$。

(R4) $\beta \in (0,1)$。

(R5) 可行集对应 $X: \mathcal{S} \rightrightarrows \mathbb{R}^d_+$（$X(s)$ 为状态 $s$ 下的可行创作集合）是连续对应且取非空紧值。在标准正则条件下，argmax 为单值连续函数。

(R6) $f: [0, \bar{\theta}] \to \mathbb{R}_+$ 连续且有界（命题 4.1 条件 (i)）。

(R7) 声誉转移 $(\theta, p, \mathbf{x}) \mapsto \theta'$ 的条件分布关于 $(\theta, p, \mathbf{x})$ 弱连续（命题 4.1 条件 (ii)；是 (R3) 在 $\theta$ 边际上的投影）。

(R8) 需求函数 $Q^*_H, Q^*_L: \mathbb{R}^2_{++} \times \mathbb{R}_{++} \to \mathbb{R}_+$ 关于 $(p, m)$ 连续，且对自价格严格递减（命题 4.1 条件 (iii) + 命题 5.1 条件 (i)）。